Numero di Nepero a cosa serve.

Insieme a Pi greco e all’unità immaginaria i, il numero e di Nepero è uno dei numeri più affascinanti della Matematica.

C’è chi lo chiama numero di Nepero, c’è chi lo chiama numero di Eulero. Questa cosa all’inizio dei miei studi mi ha frastornato facendomi pensare che si trattasse di due cose diverse. Poi ho scoperto che in realtà ….. erano veramente due cose diverse ma che dicevano la stessa cosa.

Prende il nome dal matematico J. Napier (latinizzato in Nepero) vissuto tra XVI e XVII secolo e inventore dei logaritmi, ma la sua denominazione si deve a L. Eulero, vissuto più di un secolo dopo, che con tale lettera indicò la base dei logaritmi naturali.

In realtà la sua prima citazione, rappresentata con la lettera e compare in due lettere di Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens, del 1690 e del 1691. Leonhard Euler ha iniziato ad usare la lettera e per la costante nel 1727 e il primo uso di e compare nella Mechanica di Eulero (1736).

Formalmente, il numero $e$ può essere definito in uno dei seguenti modi:

come il valore del limite

${displaystyle e:=lim _{nto infty }{left(1+{frac {1}{n}}right)}^{n};}$ (formula 1)

come la serie

${displaystyle e:=sum _{n=0}^{infty }{1 over n!}={1 over 0!}+{1 over 1!}+{1 over 2!}+{1 over 3!}+{1 over 4!}+cdots ,}$ (formula 2)

dove Σ sta a significare la somma dei numeri naturali n da 0 a infinito, $n!$ è il fattoriale del numero naturale $n$ . (In matematica, si definisce fattoriale di un numero naturale , indicato con , il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali a tale numero. Es: 3!=1*2*3)

Ecco la rappresentazione grafica della successione sul diagramma cartesiano. Fu Bernulli che calcolò una cifra compresa tra 2 e 3.:

Non riporto la dimostrazione che non interessa a nessuno. Può essere trovata su qualsiasi libro di testo liceale. La domanda da farci è cosa c’entrano allora i logaritmi con il numero (e).
In realtà nessuno lo sa. Qualcuno ha detto che è un numero come gli altri. Per semplificare calcoli con numeri molto grandi. (e) consente di descrivere elegantemente diversi modelli fisici, economici e ingegneristici. Insomma tante risposte che non rispondono alla domanda.
Ho dubbi nel pensare che Eulero abbia pensato di introdurre il numero e per dare eleganza ai modelli fisici. Ma andiamo avanti.

Nepero non scrisse mai questo limite (nel 1613 (formula 1) e tra l’altro il concetto di limite (formula 2) non era stato ancora introdotto e neppure trovò una approssimazione di e.

In Napier non c’è esplicitamente il numero e né il simbolo per indicarlo, appunto la lettera e.

Napier non era nemmeno un matematico nel senso moderno e professionale del termine; era piuttosto un gentiluomo di campagna che aveva studiato all’università di St. Andrews in Scozia e si era dedicato allo studio dei concimi. Si interessò poi di matematica a tempo perso alla ricerca della semplificazione dei calcoli di trigonometria giungendo così a quelli che sarebbero diventati i logaritmi. Nei trattati di Napier non c’è esplicitamente il numero e né il simbolo per indicarlo, appunto la lettera e.

La lettera e fa finalmente la sua comparsa nel 1727 nel volume Mechanica del matematico svizzero Eulero allievo di Bernoulli: qui la lettera e sta forse per esponenziale, la descrizione di un semplice modello finanziario che assegna a un numero e un preciso significato economico.
In pratica dalla formula Eulero ricavava il capitale con un interesse del 2,5% (= 1/40) computato n volte in un anno.

Per n → ∞, cioè se il calcolo degli interessi fosse effettuato innumerevoli volte e al limite in modo continuo, la precedente espressione tenderebbe a diventare:

Il numero e compare dunque in modo naturale. Il numero e fornisce pertanto il capitale maturato alla fine dell’anno con un investimento iniziale unitario. Insomma il numero e non c’entra nulla con la matematica.

Significato della lettera (e)

Ad oggi è ignota la motivazione dietro la scelta della lettera “e”: alcuni ritengono che possa stare per “esponenziale” altri affermano che essa sia un autoriferimento all’autore: e sarebbe la prima lettera di Eulero.

A parte questo, il numero di Nepero è un numero trascendente irrazionale (non esprimibile con una frazione) come pi greco, ovvero dotato di infinite cifre decimali.

Per quanto riguarda le proprietà, questa costante riveste un’importanze fondamentale nei logaritmi e negli esponenziali, in quanto permette di costruire la funzione esponenziale

y = e^x

La scelta di questo particolare valore è motivata dal fatto che, in questo modo, la derivata della funzione esponenziale ( tasso di cambiamento di una funzione rispetto a una variabile ) è la funzione esponenziale stessa. La derivata di ƒ(x) = e^x è infatti ancora e^x: quindi, ƒ(x) = ƒ′(x); in generale, invece, per ƒ(x) = a^x risulta ƒ′(x) = a^xlna..

Logaritmo di e

Abbiamo capito che la storia di “e” è legata a quella dei logaritmi.

In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l’esponente (x) al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso.

Es1: log ₁₀ 100 = 2, Es2: log₃ 27 = 3

Se (x) è l’esponente del numero (a) per ottenere il numero (b), allora il valore di (x) conoscendo (b) si ricava facendo il logaritmo di (a)

Il logaritmo di e che viene chiamato logaritmo naturale, allo scopo di non fare confusione, si sottintende la base e si esprime tutto nella forma:

con b>0

Quando base e argomento hanno lo stesso valore, il risultato del logaritmo è pari a 1. Quindi quando ci troviamo di fronte al logaritmo naturale di e la situazione non cambia, il risultato è sempre 1. Per cui possiamo scrivere:

ln e = 1

Inoltre:

ln 1 = 0, ln∞ = ∞, ln 0 = impossibile

Formule di (e)

Oltre ad esistere numerose funzioni in relazione con il numero di Nepero, questa costante è riscontrabile in altre numerosissime formule:

Alla base di tutte, sta la “primordiale” formula di Eulero:

Numero di Nepero: la costante universale

dove $i$ indica l’unità immaginaria.

Il caso particolare in cui $x=pi$ è noto come identità di Eulero.

Infatti sin π=0 e cos π= -1 quindi

A questo punto potrei andare avanti nelle applicazioni dove è possibile trovare il numero di Nepero. Sinceramente poche hanno interesse pratico.

Tra queste c’è il

Montante ad interesse composto continuo o matematico

che sintetizzando al massimo possiamo scrivere così:

dove i è l’interesse e 1/t = 1_c è l’interesse convertibile e $nt$ indica il numero di volte in cui l’interesse convertibile matura nell’intero periodo.

Passando al limite per $t$ che tende a infinito, si ha il caso in cui un flusso continuo di pagamenti viene reinvestito in maniera continua; il montante sarà dato da:

Vi ricorda qualcosa? Esatto la formala di Eulero per ricavare il capitale con un interesse computato n volte in un anno. Il famoso numero e.

Ok ci fermiamo qui.

Conclusione

Ritengo che la storia del numero e sia piacevole ed interessante, ma ancora non è chiaro perché oltre la base 10 dei logaritmi di Briggs o dei numeri naturali, si usano logaritmi in base di un numero irrazionale come l’e neperiano.
Sì, vabbé, la derivata di ƒ(x) = e^x è ancora e^x. E allora?

Tuttavia l’identità di Eulero è considerata tra le formule più eleganti della matematica, in quanto essa racchiude il numero 0, l’identità reale 1, l’identità immaginaria “i” e le 2 costanti più importanti: “e” e pi greco.

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