Integrale definito integrale indefinito integrali doppi integrali tripli
Integrale definito
Gli integrali definiti in un intervallo (a,b) di una funzione f(x) vengono definiti come l’area sottesa alla f(x). In pratica viene divisa in tanti rettangolini e quindi si approssimava quell’area facendo la somma dei rettangoli. Più rettangoli c’erano e più si approssimava meglio l’area.
L’integrale, infatti, non è altro che la sommatoria dell’area di ‘tanti’ triangolini, inscritti o circoscritti, che approssimo l’area sottostante la funzione.
Caso di triangolini inscritti con poligoni: p1,p2,…,p8 si ha
Caso di triangolini circosritti con poligoni: p1,p2,…,p8 si ha
L’area della parabola A è sicuramente compresa tra le due stime.
Integrali indefiniti
L’integrale indefinito di una funzione f(x) è l’insieme di tutte le funzioni primitive F(x)+c di f(x), dove c è un numero reale qualsiasi, perché la derivata di una costante è comunque uguale a zero D[c]=0.
Es:
L’integrale indefinito di f(x)=2x è la famiglia di funzioni primitive x2+c. Infatti la derivata di x2 è 2x e laderivata di c=0.
Integrali doppi
Con gli integrali doppi il concetto è lo stesso, solo che abbiamo una f(x,y), quindi si parlerà di parallelepipedi (non di rettangoli) e si cercherà di approssimare il volume che sta sotto alla f(x,y).
Negli integrali doppi la funzione definita negli intervalli (a,b) e (c,d) andava prima svolo l’integrale interno cioè tra gli astremi (a,b) per poi calcolare l’integrale tra gli estremi (c,d).
Il valore a cui tende la somma quando la superficie dei quadrati è infinitesimale (ossia tende a zero) è il valore dell’integrale.
Integrali tripli
L’integrale multiplo di una funzione f(x,y,z) a tre variabili (tre dimensioni) è detto integrale triplo.
Spesso si indica con il triplo simbolo dell’integrale.
In un integrale triplo la regione di integrazione della funzione f(x,y,z) viene suddivisa in piccoli cubi, poi sommati tra loro.
Il valore a cui tende la somma quando il volume dei cubi è infinitesimale (ossia tende a zero) è il valore dell’integrale.