I diagrammi di Feynman, facile

Devo essere sincero, non ho mai avvertito l’interesse di capire cosa fossero quei strani grafici chiamati grafici di Feynman. Ma siccome spesso mi trovavo a leggevo articoli di scienza e mi imbattevo in funzioni chiamate funzioni lagrangiane che facevano riferimento poi ai grafici di Feynman, allora ho capito che era la volta buona per capirci qualcosa.

Ma se andate su Wikipedia è peggio che andare di notte, rischiate di avere più confusione nella mente. Mi è venuto incontro il sito Borgorigmi di Marco Delmastro (fisico delle particelle che lavora all’esperimento ATLAS al CERN di Ginevra) e la Treccani.

Cominciamo, brevemente, dalle particelle elementari.
Sono chiamate elementari perché sono i mattoni fondamentali della materia. O almeno così si crede.

IL MODELLO STANDARD

Secondo il Modello Standard si dividono i fermioni (suddivisi in tre famiglie, a sinistra) e bosoni (a destra) secondo la seguente tabella. Poi c’è tutta la loro famiglia di antiparticelle.

I quark non si trovano mai isolati, ma solo all’interno di particelle composte, chiamate “adroni”. Ci sono due classi di adroni: i barioni, che contengono tre quark, e i mesoni, che contengono un quark e un antiquark. Le famiglie dei quark vengono suddivise in base alla loro massa. Più grande è la massa più grande è la difficoltà di osservarli, perchè decadono rapidamente.

I leptoni sono particelle che non si legano. I neutrini, muoni e tauoni sono particelle molto elusive. Degli elettroni sappiamo quasi tutto. I leptoni di differiscono dagli androni per via delle loro massa estremamente piccola.

I bosoni sono i cosiddetti intermediari delle forze della natura: forte, debole, elettromagnetica, gravitazionale. Ovvero sono loro che legano gli elementi della natura. Il mediatore della forza elettromagnetica è il fotone, il gluone lega i quark, i bosini Z e W sono responsabili delle forze deboli. Non è stato ancora trovato il responsabile della forza gravitazionale, l’elusivo gravitone.

Alla domanda se ci sono altre particelle fondamentali ci hanno pensato gli acceleratori di particelle che spezzano le particelle facendole urtare una contro l’altra: i Large Hadron Collider (LHC).
Fu l’inizio dell’era degli acceleratori di particelle che cominciò a sfornare uno zoo di nuovi minuscoli protagonisti, particelle strane, alcune effimere altre meno. Particelle che nascevano dal nulla e scomparivano rapidamente nel nulla. Solo agli inizi degli anni Sessanta ne erano state etichettate circa cento. Troppe per essere particelle elementari. Però lasciavano tracce.

Ed eccoci a noi.

LA EQUAZIONE LAGRANGIANA

Per mettere ordine a tutta questa babilonia di particelle e loro interazioni, c’era la necessità di una equazione principe che descrivesse questi fenomeni in una struttura matematica.
La meccanica lagrangiana viene utilizzata per analizzare il moto di un sistema di particelle discrete ciascuna con un numero finito di gradi di libertà. Una base matematica pulita per la teoria quantistica dei campi ( QFT ). In pratica la funzione lagrangiana determina completamente le interazione tra le particelle elementari.

La equazione riempirebbe una intera pagina ed è troppo astrusa per essere spiegata. Anche la versione sintetica è qualcosa di incomprensibile.

Il vantaggio di questa lagrangiana ridotta è che, al di là della sua comprensibilità, può essere messa su una maglietta, e può dunque essere venduta a un pubblico desideroso di sembrare intelligente.

In definitiva questa equazione, anche se non si capisce nulla, riassume elegantemente la nostra conoscenza del mondo delle particelle elementari e delle loro interazioni fondamentali.

Ok, ma in partica cosa ci dice?
Ora metterò qualche formula, ma non cercate di capire, tanto per fare un po’ di scenografia.

Marco Delmastro ci spiega che le prime due righe descrivono la struttura delle interazioni fondamentali, e come queste agiscono sulle particelle di materia.

In quelle due righe si sono condensate (molto condensate!) la struttura dell’interazione elettrodebole, che unifica elettromagnetismo e forze nucleare debole, e della quanto-cromodinamica, la teoria che descrive l’interazione nucleare forte come scambio di gluoni tra quark.

In particolare la prima riga contiene la descrizione di come i campi delle interazioni descritte interagiscono tra di loro e bisogna crederci se lo dice Marco. E sempre secondo Marco si possono scorgere anche le equazioni di Maxwell.
La seconda riga , così sintetizzata, descrive come i campi delle interazioni interagiscono con i campi che rappresentano le particelle di materia. Anche qui dovete fare un atto di fede.
Sorvolo su tutto il resto per non prendermi qualche accidente.

Quello che voglio dire, ora, è che forse anche Feynman ne aveva le scatole piene di tutte queste equazioni che capivano solo in pochi, e così si è messo in proprio e si è fatto da solo i suoi grafici che dovrebbero raccontare quello che la lagrangiana nasconde nelle sue articolate e complesse formule.

I DIAGRAMMI DI FEYNMAN (parte prima)

Ecco i diagrammi che quelle equazioni rappresentano, al loro livello di sviluppo più semplice (si fa per dire). Dateci solo una occhiata, poi arriverà la spiegazione.

Andiamo avanti.
Posiamo dire che i diagrammi di Feynman sono un sistema grafico potentissimo per ottenerne la predizione di fenomeni descritti da una certa teoria quantistica di campo. E per ottenerne la predizione delle loro proprietà. I diagrammi non andrebbero dunque intesi come una rappresentazione della realtà, se non nella misura in cui semplificano all’occhio del fisico una relazione matematica.

Dietro a ogni disegnino c’è dunque un’equazione, organizzata per pezzi e secondo regole precise.

Cominciamo dalle basi. I diagrammi di Feynman descrivono un’interazione tra particelle e campi nel tempo e nello spazio (o meglio, nello spazio-tempo della relatività ristretta). Questo significa che ogni diagramma esiste in una rappresentazione bidimensionale dello spazio-tempo, un piano in cui una coordinata rappresenta lo spazio (tridimensionale, schiacciato su una sola coordinata), l’altra il tempo.

In questo spazio-tempo bidimensionale, l’evoluzione delle particelle è rappresentata da linee che ne schematizzano le traiettorie.

La linea che rappresenta l’evoluzione dello stato di questo elettrone ha una freccia che ne indica il verso. La freccia serve per distinguere le particelle di materia da quelle di antimateria. Una linea con un senso di percorrenza opposto allo scorrere del tempo rappresenta un’antiparticella.

Se linee continue sono riservate alle particelle di materia, le particelle mediatrici delle interazioni, i cosiddetti bosoni vettori, sono tradizionalmente associati a una linea ondulata.

L’uso della tratto ondulato si è poi esteso anche alla particelle mediatrici dell’interazione debole, i bosoni W e Z, mentre per i bosoni responsabili dell’interazione forte, i gluoni, si è preferito usare un simbolo diverso.

In ogni diagramma di Feynman possiamo individuare un stato iniziale e uno stato finale, e un fenomeno che trasforma il primo nel secondo. Ogni tratto rappresentante una particelle deve dunque essere connesso con gli altri che appaiono nel diagramma, altrimenti il diagramma non descriverà nessuna interazione, e nessuna evoluzione dello stato iniziale.

Ok. Fin qui ci siete?

Le interazioni sono descritti da vertici dei punti in cui diversi tratti si incrociano secondo le regole specifiche dell’interazione in questione, e in cui succede qualcosa.

Nel caso dell’interazione elettromagnetica, una particella dotata di carica elettrica può emettere un fotone, così come un fotone può dare vita a una coppia particella-antiparticella dotate entrambe di carica elettrica opposta.

Nello stato iniziale abbiamo un elettrone, in quello finale lo stesso elettrone, le cui proprietà sono però cambiate per via dell’emissione di un fotone, fotone che troviamo insieme all’elettrone nello stato finale. Analogamente, ecco la rappresentazione dell’annichilazione di una elettrone con un positrone

Se fate attenzione, vi accorgerete che i due diagrammi si assomigliano molto. L’inversione del senso della freccia è una rappresentazione delle proprietà di simmetria spazio-temporali delle teorie quantistiche di campo.

Da questi diagrammi semplici, che descrivono le interazioni fondamentali di una teoria, è possibile sviluppare tutti i fenomeni che la teoria ammette. Possiamo per esempio rappresentare l’incontro tra un elettrone e un positrone, la loro annichilazione, e la successiva creazione di un’altra coppia elettrone-positrone da parte del fotone di annichilazione.

Gli ingredienti dei diagrammi permessi nel Modello Standard sono disegnati qui a lato.
I fermioni (leptoni e quark), i bosoni mediatori dell’interazione elettromagnetica e debole, i gluoni mediatori dell’interazione forte, e ovviamente il bosone di Higgs. I gluoni, sebbene anch’essi siano bosoni mediatori di un’ interazione, sono tradizionalmente rappresentati da un tratto “a cavatappi” diverso dall’onda riservata a fotone, W e Z.

Quali diagrammi possiamo disegnare? Tutti quelli che rispettano le leggi della teoria lagrangiana.

Quello qui di lato è il diagramma che descrive il modo più probabile di produrre un bosone di Higgs in una collisione tra due protoni di LHC. Due gluoni, provenienti ciascuno da uno dei due protoni che si scontrano nella collisione, si fondono grazie all’intercessione di un girotondo di quark top per produrre un bosone di Higgs, il quale, grazie a un altro girotondo di bosoni W, decade infine in una coppia di fotoni.

I GRAFICI DI FEYNMANN (seconda parte)

Pensavate che era finita? Ed invece si va avanti.

Le interazioni di cui parlano le prime due righe della lagrangiana, e in particolare l’interazione elettromagnetica e quella nucleare debole, avvengono con lo scambio di particelle messaggere, il fotone nel caso dell’interazione elettromagnetica e i bosoni W e Z per l’interazione nucleare debole.

Ci occuperemo adesso della prima parte della quarta riga, quella evidenziata qui a lato.

Il simbolo ( ϕ ) rappresenta il campo di Higgs, il campo che conferisce materia alle particelle. Il termine (|Dμϕ|²) descrive il meccanismo di rottura spontanea della simmetria elettrodebole. (teoria che giustificherebbe la presenza della materia ordinaria)

Quanto detto viene rappresentato con questi due grafici di Feynman .

Questi diagrammi sono responsabili tra le altre cose di uno dei modi con cui un bosone di Higgs può essere generato nella collisione tra due protoni negli acceleratori di particelle (LHC), la fusione di bosoni vettori (Vector Boson Fusion) emessi dai quark dentro ai protoni al momento della collisione.

Questi diagrammi sono responsabili di alcuni dei modi di decadimento del bosone di Higgs che sono stati essenziali per la sua scoperta dei bosoni H→ZZ∗ e H→WW.

C’è da aggiungere che il bosone Z non è una particella stabile, e decade dunque a sua volta in coppie fermione-antifermione.

Il primo componente della quarta riga della lagrangiana del Modello Standard, dunque, può essere anch’esso ormai classificato sotto la categoria della “conoscenza”. Una conoscenza ancora meno precisa di quella descritta dalle prime due righe, ma è solida e affidabile.

CONCLUSIONE

La lagrangiana del Modello Standard sarebbe l’equazione che “riassume elegantemente la nostra conoscenza del mondo delle particelle elementari e delle loro interazioni fondamentali”,

I diagrammi di Feynman sono dei giochini grafici per ottenere la predizione di fenomeni descritti da una certa teoria quantistica di campo.

Se volete potete divertirvi anche voi.

Dimenticavo. Volete sapere qual’era la lagrangiana originale nelle sua integralezza? Eccovi serviti.